Feladat: 12.35.
Van négy
a) egyforma;
b) különböző (pld piros
kék
zöld és sárga)
kockánk. Ezeket oldallapjaik mentén egymáshoz ragaszthatjuk. Minden ragasztásnál az egyik kocka teljes oldallapja egy másik kocka teljes oldallapjához illeszkedik. Hányféle 1, 2, 3 illetve 4 kockából álló idomot tudunk így létrehozni?
Megoldás: 12.35
a)
1, 2, 3 ill. 4 kockából álló idomból rendre 1, 1, 2, 8 van (lásd az
1. ábrát). Messzemenően nem nyilvánvaló, hogy az utolsó kettő (az ábrán
IV.g és
IV.h) nem mozgatható egymásba. El kell készíteni. Ez a két idom síkra való tükrözéssel egymásba vihető, de mozgatással nem. A kémiában is előfordul hasonló jelenség: két molekula szerkezete szerint lehet teljesen azonos, de egymás tükörképeik (kiralitás).
1. ábra
b) Kiszámoljuk az
1. ábrán látható egyes idomok különböző színezéseinek számát. Az eredmények az alábbi táblázatban olvashatók:
I |
II |
IIIa |
IIIb |
IVa |
IVb |
IVc |
IVd |
IVe |
IVf |
IVg |
IVh |
4 |
6 |
12 |
12 |
12 |
24 |
12 |
3 |
12 |
8 |
12 |
12 |
| |
24 |
95
|
Magyarázat:
II. A négy színből hatféleképpen választható ki kettő.
IIIa-IIIb. Melyik szín marad ki (4 lehetőség), melyik lesz a középső (3 lehetőség).
IVa.-IVc.-IVe. A
4!=24 eset a középpontos vagy tengelyes szimmetria miatt megfeleződik.
IVd. I. magyarázat: mi van a pirossal szemben? II. magyarázat: nyolcféle szimmetria van, ezért így számolunk:
24/8=3.
IVf. I. magyarázat: a sarok négyféle lehet, a maradék három kétféle (egy-egy ,,sodrás"). II. magyarázat: a 24 eset a harmadfokú (azaz
120∘
-os) forgásszimmetria miatt harmadolódik.
IVg-h. Itt is megfeleződnek a lehetőségek. Tessék elkészíteni!