Feladat: 13.4.
Egy kocka lapjait zöldre festettük, majd a befestett kockát feldaraboltuk egybevágó kis kockákra. Ezek között van olyan, amelyiknek két festett (zöld) lapja van, méghozzá épp ugyanannyi, mint amennyinek egy zöld lapja van. Hány kis kockára daraboltuk fel az eredeti kockát?
A darabok száma az alábbi két érték közé esik:
A) 7 és 56
B) 57 vagy 106
C) 107 és 206
D) több
E) egyik sem
Megoldás: 13.4
B
Tegyük fel, hogy az éleket
(k+2) részre osztottuk. Azok a kis kockák, amelyeknek két festett oldala van, az élek mentén helyezkednek el, de különböznek a csúcsoktól. Ilyenekből minden élen
k-van, összesen tehát
12k. Van ilyen kis kocka, tehát
k>0.
Azok a kis kockák, amelyeknek egy festett oldala van a lapok közepén helyezkednek el, minden lapon
k2
van belőlük, összesen tehát
6
k2
. A
12k=6
k2
egyenlet egyetlen pozitív megoldása a
k=2. A kis kockák száma tehát
(k+2
)3
=
43
=64.