Feladat: 6.39. [
43]
Három barát egy tortát szeretne igazságosan elosztani egymás között, amely fölülnézetből 15 cm oldalú négyzetnek látszik. Az első vágás a négyzet középpontjából indul az
1. ábrán látható módon.
1. ábra
Készítsük el a négyzetet valódi nagyságában és jelöljük a középpontból induló másik két vágást úgy, hogy az ily módon keletkezett ,,szeletek" egyenlő területűek legyenek! Igazoljuk az eljárás helyességét!
Megoldás: 6.39
1. megoldás.
A négyzet teljes területe
152
=225 cm
2
, a harmada
75 cm
2
. A
2. ábrán jelölt
t1
,
t2
,
t4
területek a háromszög és a trapéz területképletével számolhatók (cm
2
-ben):
t1
=
(3+7,5)·7,5
2
=39,375;
t2
=
7,5·7,5
2
=28,125;
t3
=
12·7,5
2
=45.
|
2. ábra
A kezdő vágás egyik irányában
t1
+
t2
=67,5 cm
2
, amit még
t3
=7,5 cm
2
-rel kellene megnövelni. A jelölt háromszög magassága
7,5 cm, így területe akkor lesz a kívánt érték, ha alapja
x=2 cm. A másik irányban
t4
-et még
t5
=30 cm
2
-nel kell növelni, a jelölt háromszög magassága
7,5 cm, így alapnak az
y=8 cm értéket kell választani.
Tehát az ábrán
x-szel, illetve
y-nal jelölt szakasznak a sarokkal ellenkező végpontjához kellene vágni, ahol
x=2 cm,
y=8 cm.
Megjegyzés
Felmerül az igény, hogy arra is kellene törekedni, hogy a torta szélére vastagon kerülő krémből is mindenkinek egyforma adag jusson.
Megfigyelhető, hogy szerencsénk volt(?), mindenkinek ugyanakkora kerületrész jutott (
3+15+2=12+8=20, a kimaradt kerület
60-2·20=20 cm), így ha körben azonos magasságú a torta, akkor a krém mennyisége is egyenlő a három részben.
2. megoldás.
Osszuk fel a tortát olyan kis részekre, amelyek háromszög alakúak és egyik csúcsuk a négyzet
O középpontja! A létrejövő kis háromszögek mindegyikében az
O-hoz tartozó magasság
m=7,5 cm lesz, így a terület csakis az
O-val szemközti, tehát a négyzet kerületére eső rész hosszától függ. Mivel a teljes kerület
60 cm, így a jelölt ponttól mindkét irányban
20-20 cm-t kell ,,haladni", és a középpontból odáig kell vágni.
2. ábra
A megoldást szemlélteti a
2. ábra. A váltakozó színnel jelölt háromszögeknek a négyzet kerületére eső oldala
1-1 cm hosszú, az ehhez tartozó magasság minden esetben a négyzet oldalának fele, így ezek egyenlő területű háromszögek. A
60 háromszögből
20-20-20-at kell venni mindegyik részhez.