Feladat: 11.12.
Az
ABC háromszög magasságpontjának az oldalakra vett tükörképei a háromszög köréírt körön vannak, tehát a tükörképek által alkotott háromszög oldalfelező merőlegesei éppen a sugáregyenesek.
Hogyan általánosítható ez az állítás?
Megoldás: 11.12
Valamely csúcshoz tartozó sugáregyenes az ugyanebből a csúcsra illeszkedő magasságvonalaknak a szögfelezőre vett tükörképe. Általában is igaz a következő:
Legyen
P az
ABC háromszög belső pontja. Tükrözzük a
P pontot a három oldalra. Az így kapott három pont mint csúcs által meghatározott háromszög köréírt körének középpontja legyen
P'. Ekkor
AP és
AP' tükrös az
A-ból induló szögfelezőre és ugyanez igaz a másik két csúcsra is.
Tükrözzük ugyanis a
P pontot egyrészt az
AB, másrészt az
AC oldal egyenesére, a kapott két tükörkép legyen
P3
és
P2
. A tengelyes tükrözés tulajdonságaiból azonnal következik, hogy
AP3
=AP=
AP2
, tehát a
P3
P2
szakasz felezőmerőlegese,
e1
átmegy az
A csúcson és felezi a
P2
AP3
∠ szöget. Továbbá következik az is, hogy
P2
AP3
∠=2CAB∠.
Legyen
e1
egy, az
ABC háromszög belsejébe eső pontja
E. Ekkor
P3
AE∠=BAC∠=
EAP2
∠, amiből következik, hogy
P3
AB∠=
P3
AE∠-BAE∠=BAC∠-BAE∠=EAC∠. Másrészt a tükrözés miatt
P3
AB∠=BAP∠. E két eredményt összehasonlítva azt kapjuk, hogy a
BAP∠ szög és az
EAC∠ szög egyenlő. Ez viszont pontosan azt jelenti, hogy az
AP és az
AE egyenes tükrös az
A-ból induló szögfelezőre. Az utóbbi azonos az
AP' egyenessel. Ezzel az állításunk bizonyítását befejeztük.