Feladat: 4.35.
Az
ABC háromszög
AB oldalán adott a
D pont. Jelölje
P az
ACD,
BCD háromszögekbe írt körök
AB-tól különböző közös külső érintőjének a
CD szakasszal való
metszéspontját. Igazoljuk, hogy a
CP szakasz hossza független a
D pont választásától!
Megoldás: 4.35
Használjuk az
1. alábbi ábra jelöléseit!
1. ábra
A levezetésben sokszor kihasználjuk, hogy külső pontból a körhöz
húzott két érintőszakasz egyenlő hosszú. A másik ötlet az, hogy a
CP szakasz hosszát kétszer is felírjuk!
Egyrészt
CP=
CDB
-
PDB
=
CVB
-
PWB
,
|
Másrészt
CP=
CDA
-
PDA
=
CVA
-
PWA
.
|
E
CP-re előbb kapott két kifejezést összeadjuk, és
felhasználjuk, hogy a körök centrálisára szimmetrikus
WB
WA
,
UB
UA
érintőszakaszok egyenlő hosszúak.
2CP=(
CVB
+
CVA
)-(
PWB
+
PWA
)=(
CVB
+
CVA
)-
WB
WA
.
|
A kisebbítendőt és a kivonandót is megnöveljük a
B-ből illetve
az
A-ból húzott érintőszakaszok hosszával:
2CP=(
CVB
+
VB
B+
CVA
+
VA
A)-(
BWB
+
WB
WA
+
WA
A)=CB+CA-AB,
|
azaz
Tehát a
CP szakasz hossza csakis az
ABC háromszög oldalaitól
függ és független a
D pont helyzetétől.