Megoldás: 4.10
Először az egyértelműséget
(,,kétértelműséget") igazoljuk, utána pedig a transzformációk
létezését mutatjuk meg.
Legyen
C tetszőleges, az
AB egyenesre nem illeszkedő pont. A
C pont képe,
C', a távolságtartás ismeretében könnyen
szerkeszthető: az
A' középpontú
AC sugarú és a
B' középpontú
BC sugarú körök metszéspontja lesz. A két körnek két
metszéspontja van, tehát
C'-re is két lehetőségünk van az
A'B'
egyenesre tükrösen. Válasszuk ki ez egyik lehetőséget. Ha
D
tetszőleges további pont, akkor az
AD,
BD távolságok
figyelembevétele alapján
D'-re is két lehetőség van, melyek az
A'B' egyenesre tükrösek. Ez a két lehetséges
D' pont a
választott
C' ponttól különböző távolságban van, hiszen a
D'-ktől egyforma távoslágban elhelyezkedő pontok az
A'B'
egyenesen vannak. Mivel
CD=C'D' így csak az egyik
D' pont
lehet jó. Ezek szerint
C' választása után már az összes többi
pont képe egyértelmű, ha egyáltalán lehetséges egybevágóságot
értelmezni.
Megadunk megfelelő egybevágóságot két ill. három tengelyes
tükrözés kompozíciójaként. Legyen az első tükörtengely,
t1
, az
AA' szakasz felezőmerőlegese. Legyen a
t1
(B)=
B1
. Legyen a
második tükörtengely,
t2
, a
B1
B' szakasz felezőmerőlegese,
ha
B1
≠B', illetve legyen
t2
=A'B', ha
B1
=B'. A
t2
tengelyre illeszkedik
A' hiszen egyforma messze van
B1
-től és
B'-től. A
t2
∘
t1
transzformáció (előbb tükrözünk
t1
-re, majd
t2
-re olyan irányítástartó transzformáció, amely
az
A pontot
A'-be,
B-t pedig
B'-be képzi. Legyen
t3
az
A'B' egyenes. A
t3
∘
t2
∘
t1
transzformáció is
A'-be viszi
A-t,
B'-be
B-t, de ez irányításváltó.
Ezzel az állítást igazoltuk.