Megoldás: 3.33
Legyen az adott
k,
l körök két metszéspontja
A és
B, a paralelogramma
X csúcsa legyen
k-n, míg
Y az
l-en.
A csúcsok elvileg háromféle lényegesen különböző sorrendben lehetnek a paralelogramma csúcsai:
ABXY,
ABYX,
AXBY (ugyan
4!=24 sorrendben lehet leírni a négy betűt, de
A-t tehetjük előre, és mehetünk olyan irányban körbe, hogy
B megelőzze
Y-t).
Az utolsó esetben a
3.18. a) feladat megoldása szerint, ha
X befutja
k-t, akkor az
AXBY paralelogramma
Y csúcsa a
k körnek az
AB szakasz
F felezőpontjára vonatkozó
k' tükörképén mozog. A
k' kör átmegy az
A és
B pontokon, tehát vagy nincs más közös pontja
l-lel, vagy megegyezik
l-lel. Az előbbi esetben nincs megoldás, az utóbbiban végtelen sok van,
X lehet a
k kör tetszőleges - de
A-tól és
B-től különböző - pontja, míg
Y az
X középpontosan tükrözött képe
F-re.
Ha a sorrend
ABXY, akkor a
3.18. b) feladat megoldása szerint, ha
X befutja
k-t, akkor a paralelogramma
Y csúcsa a
k körnek a
BA
→
vektorral való
kA
eltoltján mozog. A
B pont eltoltja
A, így az
kA
kör átmegy
A-n és az
l kört még
YA
pontban metszi (lásd az
1. ábrát), vagy érinti
l-t
A-ban (lásd a
2. ábrát). Az utóbbi esetben nincs megoldás, az előbbiben az
YA
pontot a
AB
→
vektorral ,,visszatolva" megtaláljuk
k-n azt az
XA
-t, amelyre
ABXA
YA
paralelogramma.
1. ábra
Ha a sorrend
ABYX, akkor az előzőhöz hasonlóan kell eljárni, de most a
k kör
AB
→
vektorral való
kB
eltoltjának és
l-nek
B-n kívüli
YB
metszéspontját
BA
→
-val visszatolva kapjuk azt az
XB
pontot, melyre
ABYB
XB
paralelogramma. Itt pontosan akkor nem kapun megoldást, ha
kB
érinti
l-t (
B-ben).
Vizsgáljuk meg, mikor nem jön létre az egyik illetve a másik megoldás! Jelölje a körök középpontjait
Ok
és
Ol
. A
kA
-kör pontosan akkor érinti
l-t, ha az
AOk
,
Ol
B egyenesek párhuzamosak (lásd a
2. ábrát). Ilyenkor az
Ol
AOk
B négyszög trapéz, de az
Ok
Ol
átlójára szimmetrikus, tehát deltoid. A rombuszok az átlójukra szimmetrikus trapézok, tehát akkor van speciális elrendeződés -mind a három esetben, tehát az
ABXY,
ABYX,
AXBY sorrendek mindegyikében - ha a két adott kör sugara egyenlő.
2. ábra
Összefoglalva: ha a két kör sugara egyenlő, akkor végtelen sok olyan paralelogramma van, amelyben a csúcsok sorrendje
AXBY, de más típusú paralelogramma nincs ilyenkor, míg ha a két kör sugara különböző, akkor csak az
ABXY,
ABYX sorrendekhez tartoznak paralelogrammál, mindkettőből egy-egy van.