Megoldás: 12.15
[
137]
Eredmény:
PMN∠=
90∘
,
PM=PN.
Nyilván feltehetjük, hogy az
ABC háromszög pozitív körüljárású.
Ebben az esetben irányítottan értelmezve:
BNC∠=-
105∘
, BPA∠=-
105∘
, AMB∠=-
150∘
.
|
1. ábra
Legyen
λ=
PC
PA
=
NC
NB
=
sin
45∘
sin
30∘
és tekintsük az alábbi három forgatva nyújtást, mint
transzformációját:
Nλ
-
105∘
: középpontja
N, forgássöge
-
105∘
, nyújtási arány
λ.
P
1
λ
-
105∘
: középpontja
P,
forgássöge
-
105∘
, nyújtási arány
1
λ
.
M1
-
105∘
: középpontja
M, forgássöge
-
150∘
, nyújtási arány 1 (ez tehát egyszerű forgatás).
Tekintsük e három transzformáció kompozícióját:
φ=
M1
-
105∘
∘
P
1
λ
-
105∘
∘
Nλ
-
105∘
|
| (1) |
(tehát előbb
Nλ
-
105∘
-t, majd
P
1
λ
-
105∘
-t, végül
M1
-
105∘
-t hajtjuk végre.
Állítjuk, hogy a
φ transzformáció az identitás. A
φ
transzformáció egybevágóság, hiszen egy
λ és egy
1
λ
arányú hasonlóság szerepel benne, tehát minden
szakasz képe olyan hosszú lesz, mint eredetileg volt. A
φ
transzformáció körüljárástartó, hiszen minden összetevője is az. A
φ transzformációnál bármely irányított szakasz képe az
eredeti szakasszal párhuzamos és azonos irányítású, hiszen a
nagyítások nem változtatják a szakasz állását, a forgási szögek
összege pedig
-
105∘
+-
105∘
+-
150∘
=-
360∘
. Mindezekből
következik, hogy
φ egy eltolás. A transzformációkat úgy
értelmeztük, hogy
φ(B)=B is teljesüljön. Valóban,
φ(B)=
M1
-
105∘
∘
P
1
λ
-
105∘
∘
Nλ
-
105∘
(B)=
M1
-
105∘
(
P
1
λ
-
105∘
(
Nλ
-
105∘
(B)))=
|
=
M1
-
105∘
(
P
1
λ
-
105∘
(C))=
M1
-
105∘
(A)=B.
|
A
φ transzformáció tehát egy olyan eltolás, amelynek van
fixpontja, tehát
φ valóban az identitás.
2. ábra
Tekintsük most az
M pont ,,pályáját" a
(
1) transzformáció fokozatos
végrehajtásánál! Legyen
Nλ
-
105∘
(M)=K.
|
Ekkor
szükségéppen
P
1
λ
-
105∘
(K)=M,
|
hiszen
M=φ(M)=
M1
-
105∘
(
P
1
λ
-
105∘
(
Nλ
-
105∘
(M)))=
M1
-
105∘
(
P
1
λ
-
105∘
(K)),
|
és a
M1
-
105∘
transzformáció csak az
M pontot képezi
M-be.
Megmutatjuk, hogy az
MNKP négyszög deltoid, melynek
szimmetriatengelye
MK és a
P-nél fekvő szöge
90∘
. A
BNC,
MNK háromszögek hasonlók, hiszen
N-nél fekvő szögük és
N melletti oldalaik hosszának aránya is egyenlő (gondoljunk az
Nλ
-
105∘
transzformációra). Az
APC,
MPK is
hasonlók (most
M1
-
105∘
-re gondoljunk). Mivel megadott
adataik alapján az
APC,
BNC háromszögek is hasonlók, így a
MNK,
MPK háromszögek is hasonlók. Ezek egy megfelelő oldala
egybeesik, így egybevágók is. Tehát
MNKP valóban
MK
szimmetriatengelyű deltoid, és
KMN∠=CBN∠ révén
M-nél
fekvő szöge
90∘
.
A
PMN háromszög tehát egyenlő szárú és derékszögű.