Feladat: 6.53.
Hogyan lehetne kijavítani a
6.50. feladat eljárását úgy, hogy minden, a szabályostól különböző háromszögből véges sok lépésben a kerület növelésével a szabályos háromszöghöz jussunk?
Megoldás: 6.53
A
6.52. feladat megoldásának eljárása most is alkalmazható. Annyit kell belátnunk, hogy az ott szereplő
CC'
^
íven fekvő
X pontokra igaz, hogy az
ABX háromszögnek nemcsak a területe, hanem a kerülete is nagyobb az
ABC háromszögénél.
Jelöljük
F-fel az (
AB-t nem tartalmazó)
CC'
^
ív felezőpontját. Minthogy a
CC'
^
ív szimmetrikus az
AB szakasz felezőmerőlegesére, elég azt belátnunk, hogy a
CF
^
ív tetezőleges
X pontjára igaz az állításunk.
Szerkesszük meg a
CF
^
ív minden
X pontjához az
AX félegyenesnek azt az
X' pontját, amelyre
AX'=AX+XB. feladatban láttuk, hogy ezek az
X' pontok egy olyan körívet határoznak meg, amelynek középpontja éppen az
F pont. Tehát ha az
X pontot a
C-től az
F-ig futtatjuk, akkor a hozzátartozó
AX' szakasz hossza az
X=C helyzettől az
X=F helyzetig egyfolytában nő. Következésképp az
AXB háromszög kerülete is egyfolytában nő.
Ezzel beláttuk, hogy a
6.52. feladat megoldásának eljárása most is alkalmazható: az ott alkalmazott eljárás két lépsben a terület
és a kerület növelésével vezet a szabályos háromszöghöz.