Feladat: 6.66.
a) Adott háromszög köré szerkesszünk szabályos háromszöget, tehát az adott háromszög csúcsai illeszkedjenek a szabályos háromszög oldalegyeneseire (megengedjük, hogy ne magára az oldalra essen a csúcs, hanem az oldal meghosszabbítására)!
b) Melyik a legnagyobb ilyen szabályos háromszög?
Megoldás: 6.66
a) Legyen az adott háromszög
A1
B1
C1
, a szerkesztendő szabályos háromszög
ABC, melynek oldalegyeneseit a szokásos módon jelöljük, tehát
A1
∈a=BC,
B1
∈b=CA,
C1
∈c=AB.
Az egyenesek irányított szögeivel számolva:
ab∢≡±
60∘
(mod
180∘
), bc∢≡±
60∘
(mod
180∘
), ca∢≡±
60∘
(mod
180∘
),
|
továbbá
ab∢+bc∢+ca∢≡±
0∘
(mod
180∘
),
|
azaz vagy
ab∢≡bc∢≡ca∢≡
60∘
(mod
180∘
),
|
vagy
ab∢≡bc∢≡ca∢≡-
60∘
(mod
180∘
).
|
Az első esetben az
A,
B,
C csúcsok a
B1
C1
,
C1
A1
,
A1
B1
szakaszok (irányított szakaszok)
60∘
-os (mod
180∘
)
kA
+
,
kB
+
,
kC
+
látókörein vannak, az utóbbi esetben pedig a
-
60∘
-os (mod
180∘
)
kA
-
,
kB
-
,
kC
-
látókörein.
1. ábra
Induljunk ki a
kA
+
kör tetszőleges
A pontjából! Képezzük az
AC1
egyenes (
A=
C1
esetén a
kA
+
kör
C1
-beli érintője) és a
kB
+
kör
C1
-től különböző
B metszéspontját (illetve legyen
B=
C1
, ha az egyenes
C1
-ben érinti
kB
+
-t. Legyen ehhez hasonlóan
C a
BA1
egyenes és a
kC
+
kör
A1
-től különböző metszéspontja. Jelölje a
B1
A,
AC1
B,
BA1
C,
CB1
egyeneseket rendre
b,
c,
a,
b'. A szerkesztés révén ezen egyenesek irányított szögei:
bc∢≡ca∢≡ab'∢≡
60∘
(mod
180∘
),
|
így
bb'∢≡
0∘
(mod
180∘
).
|
Mivel
b és
b' is átmegy
B1
-en így ez a két egyenes egybe is esik. Ez épp azt jelenti, hogy a szerkesztésből kapott
ABC háromszög szabályos és oldalaira illeszkednek a megadott pontok. Így végtelen sok megfelelő szabályos háromszöget kapunk és ha ehhez hasonlóan képezzük a
kC
-
,
kA
-
,
kB
-
látókörökre illeszkedő megoldásokat is, akkor az összeset megkapjuk.
b) A
6.9. feladat eredménye szerint
A-t és
B-t a
kA
+
,
kB
+
körök (vagy
kA
-
és
kB
-
) azon
C1
-en átmenő szelőjén kell választani, amely párhuzamos ezen körök centrálisával.