Megoldás: 6.20
Tekintsük a
k kör
BC húr által levágott
h,
g íveinek
HA
illetve
GA
felezőpontjait és a
HA
illetve
GA
középpontú
B-n átmenő körök
k belsejébe eső
ih
,
ig
íveit. E két körív
i=
ig
∪
ih
egyesítése lesz a keresett mértani hely.
A
6.17-
6.18. feladatok megoldásából kiderül, hogy az
I pont csak az előbb megadott
i halmazban lehet. Most azt mutatjuk meg, hogy
i minden pontjában lehet az
I pont.
Legyen pl a
HA
középpontú
ih
körív egy pontja
I0
és tekintsük az
e=
HA
I0
egyenest. Ez az egyenes nem érinti
k-t, mert a
k kör vonalának egy pontját (
HA
) kötöttük ösze a
k egy belső pontjával (
I0
). Az egyenes tehát
HA
-n kívül még egyszer metszi
k-t, legyen ez a metszéspont
A. Az
A pont a
k kör
g ívén van, nem a
h íven. Valóban, ha a
h ív két pontját kötjük össze szakasszal, akkor a
BC szakasz és a
h ív határolta konvex alakzatban maradunk, az
ih
ívet nem metszük, míg
AHA
elmetszi
ih
-t (
I0
-ban).
A
g és
h ív egy-egy pontját összekötő szakasz elmetszi a
BC egyenest, mert a
BC által meghatározott egyik félsíkban van az egyik a másikban a másik. A
k körlap konvex, így két pontját összekötő szakasza a
k kör belsejében van, tehát a
BC szakaszt is csak annak belsejében metszheti.Azt kaptuk, hogy az
AHA
szakasz metszi a
BC szakaszt, tehát belső szögfelező.
Az
ABC háromszög beírt körének
I középpontja illeszkedik az
AHA
szögfelezőre és az
ih
körívre is (lásd
a
6.17-
6.18. feladatokat), de ezeknek csak egy metszépontja van,
I0
, azaz
I=
I0
. Megmutattuk, hogy
i a kereett mértani hely.