Feladat: 6.7.
A
k,
l körök az
A,
B pontokban metszik egymást. Tekintsük a
k körön a
K pontot és képezzük a
KA egyenes és az
l kör második metszéspontjaként az
L pontot.
a) Mutassuk meg, hogy a
KBL háromszög hasonlóság erejéig egyértelmű, független a
K pont választásától!
b) Hogyan függ a
KBL∠ szög a
k,
l körök szögétől?
Megoldás: 6.7
1. megoldás.
a) Dolgozzunk irányított szögekkel! Legyen
K1
,
K2
∈k,
L1
,
L2
∈l két-két megfelelő pont, azaz
A∈
K1
L1
,
B∈
K2
L2
.
Egyrészt
L1
K1
B∢≡
AK1
B∢≡
AK2
B∢≡
L2
K2
B∢ (mod
180∘
),
|
| (1) |
ahol a két szélső egyenlőség (kongruencia) azért teljesül, mert
L1
,
A és
K1
, illetve
L2
,
A és
K2
egy egyenesen van, míg a középső a kerületi szögek tétele a
k körben. Másrészt ehhez hasonlóan
BL1
K1
∢≡
BL1
A∢≡
BL2
A∢≡
BL2
K2
∢ (mod
180∘
).
|
| (2) |
Azt kaptuk, hogy az
LK egyeneshez a
KB,
LB egyenesek állandó szögben hajlanak, tehát a
3.6. feladat a) részének eredménye szerint az
LKB háromszög szögei állandó nagyságúak.
b) Jelölje a
k illetve az
l kör
A pontbeli érintőjét
ek
illetve
el
.
Az érintő szárú kerületi szögre vonatkozó tételt a
k körben a
KA húrra alkalmazva kapjuk, hogy
KL\thinspace
ek
∢≡KA\thinspace
ek
∢≡KB\thinspaceBA∢ (mod
180∘
),
|
míg az
l kör
LA húrjára
el
\thinspaceKL∢≡
el
\thinspaceLB∢≡BA\thinspaceLB∢ (mod
180∘
).
|
Mivel
KL\thinspace
ek
∢
ek
\thinspace
el
∢+
el
\thinspaceKL∢≡KL\thinspaceKL∢≡
0∘
(mod
180∘
),
|
így
0∘
≡KB\thinspaceBA∢+BA\thinspaceLA∢+
ek
\thinspace
el
∢
≡KB\thinspaceLB∢+
ek
\thinspace
el
∢ (mod
180∘
),
|
azaz
KBL∢≡
el
\thinspace
ek
∢ (mod
180∘
).
|
A
KBL∢ irányított szög tehát az
l kör és a
k kör
A-beli érintőinek irányított szögével egyezik meg.
2. megoldás.
b) Válasszuk
K-nak a
k körön
B-vel átellenes pontot. Ilyenkor
L az
l körön
B-vel átellenes pont (lásd az
5.2. feladatot). A körök
B-beli érintői a
BL,
BK átmérőkre merőleges egyenesek, tehát a merőleges szárú szögekre vonatkozó tétel ( feladat) szerint az
l és a
k kör
B-beli érintőinek irányított szöge az
LBK∢ szöggel egyezik meg (mod
180∘
).