Megoldás: 12.14
1. megoldás.
Tekintsük azt a
D centrumú forgatva nyújtást, amely
B-t
A-ba viszi. Legyen ennél a transzformációnál
C képe
C'. A
DCB,
DC'A háromszögek most hasonlóak (lásd az
1. ábra bal oldalát), így
azaz
Másrészt az említett forgatva nyújtás szöge:
aránya pedig
így a
CDC',
BDA háromszögek is hasonlóak (lásd az
1. ábra jobb oldalát), hiszen
D-nél fekvő szögűk (
3) miatt, míg
D-ből induló oldalaik aránya (
4) miatt egyenlő. E hasonlóságból
azaz
1. ábra
Írjuk fel a háromszög-egyenlőtlenséget az
ACC' háromszögre!
AC≤AC'+CC', azaz
AC≤
DA·CB
DB
+
DC·AB
DB
,
|
| (7) |
amiből
DB-vel való átszorzással kapjuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget.
Az
AC≤AC'+CC' háromszög-egyenlőtlenségben pontosan akkor teljesül az egyenlőség, ha
C' az
AC szakaszon van, azaz ha
CC'D∢+DC'A∢≡
180∘
(mod
360∘
).
|
| (8) |
A hasonlóságok miatt ezek a szögek kicserélhetőek és a feltétel ebben a formába írható át:
BAD∢+DCB∢≡
180∘
(mod
360∘
).
|
| (9) |
Két esetet különböztetünk meg:
BAD∢≡0 (mod
180∘
), vagy
BAD∢≡/≡0 (mod
180∘
), azaz ha
A a
BD egyenesre esik vagy nem.
Az előbbi esetben vagy
BAD∢≡0 (mod
360∘
) vagy
BAD∢≡180 (mod
360∘
), tehát
A vagy a
BD szakaszra vagy annak komplementerére esik a
BD egyenesen. A (
9) összefüggés azt mondja, hogy ekkor
C is a
BD egyenesre esik, de fordítva, mint
A, tehát ha
A a
BD szakaszon van, akkor
C annak komplementerén, míg ha
A esik a komplementerre, akkor
C a szakaszra.
Ha
BAD∢≡/≡0 (mod
180∘
), akkor
A a
BD pontpár egy valódi látókörén van. Ekkor (
9) szerint
BAD∢+DCB∢≡
0∘
(mod
180∘
),
|
| (10) |
azaz
BAD∢≡BCD∢ (mod
180∘
),
|
| (12) |
tehát
C is ugyanazon a látókörön van, de mivel
(
9) szerint
BAD∢≡
180∘
+BCD∢ (mod
360∘
),
|
| (12) |
így
A és
C a látókörön a
BD húr ellenkező oldalára kerül.
Eredményeink igazolják a feladat állítását.
2. megoldás.
Az összefüggés komplex számokkal is igazolható. Lásd . feladatot