Feladat: 7.1.
Mutassuk meg, hogy a háromszögbe írt kör
r sugarára, a háromszög
s félkerületére (,,semiperimeter"), valamint a háromszög
T
területére teljesül az
s·r=T összefüggés!
Megoldás: 7.1
Jelölje háromszög csúcsait
A,
B és
C, beírt körének középpontját
I. Tekintsük az
ABI,
BCI,
CAI háromszögeket.
Az
ABI háromszög területe az
AB alap és a hozzá tartozó magasság szorzatána fele. Az
AB alaphoz tartozó magasság épp
r, így a terület
c·r
2
. A másik két háromszög területére(lásd . ábrát) is hasonló formula írható fel, ez a három kis háromszög átfedés nélkül tölti ki az
ABC háromszöget, így annak
T területe:
T=
c·r
2
+
b·r
2
+
a·r
2
=
(a+b+c)·r
2
=s·r.
|
1. ábra