Megoldás: 3.64
Legyenek az egyik háromszög csúcsai pozitív forgásirányban
A,
B és
C. A forgatás körüljárástartó, így ha
A,
B és
C képei egy forgatásnál
A',
B' és
C', akkor az
A'B'C' háromszög is pozitív körüljárású. Ezt figyelembe véve írjuk a másik háromszög csúcsaira pozitív körüljárásban az
A',
B',
C' betűket! Ezt háromféleképpen tehetjük meg, hiszen az
A' betűt akármelyik csúcsra írhatjuk, a többi betű pedig a betűsorrend és a körüljárás rögzítése miatt adott. Annak a forgatásnak a középpontja, amely
A-t
A'-be képezi az
A,
A' pontoktól egyforma messze van, tehát a felezőmerőlegesükre illeszkedik. Ugyanezért a forgatás centrumának a
BB' szakasz
felezőmerőlegesére és a
CC' szakaszéra is illeszkednie kell, tehát az
O forgáscentrum - ha van egyáltalán ilyen, akkor - e három
felezőmerőleges metszéspontja.
Ha ez a három felezőmerőleges egybeesne, akkor az erre az egyenesre való tükrözés az
A,
B,
C pontokat rendre az
A',
B',
C' pontokba vinné, de a tükrözés irányításváltó, így ez nem lehetséges.
Van tehát két felezőmerőleges, feltehetjük, hogy az
AA' és a
BB' szakaszoké, amelyik nem esik egybe. E két felezőmerőlegesnek van közös pontja, mert ha párhuzamosak lennének,
akkor az
AA',
BB' szakaszok is párhuzamosak lennének, és így az
AA'B'B
négyszög paralelogramma vagy húrtrapéz lenne. Paralelogramma nem lehet, mert
AB és
A'B' nem párhuzamos és húrtrapéz sem lehet, mert
AA' és
BB'
felezőmerőlegese nem esik egybe.
Jelölje tehát e két felezőmerőleges egyetlen közös pontját
O. Meg szeretnénk mutatni, hogy megfelelő szögű
O körüli forgatás az
ABC háromszöget az
A'B'C' háromszögbe viszi.
Tekintsünk két transzformációt, az
AA' szakasz
t felezőmerőlegesére vonatkozó tükrözést, valamint azt az
O centrumú
φ forgatást, amely
A-t
A'-be viszi. Legyen
t(B)=
B1
és
φ(B)=
B2
. Azt szeretnénk megmutatni, hogy
B2
=B', sőt
φ(C)=C'.
Tekintsük az
OAB,
OA'B' háromszögeket. A felezőmerőlegesek miatt
OA=OA' és
OB=OB', míg
ABC és
A'B'C' egybevágósága miatt
AB=A'B', tehát ez a két háromszög egybevágó.
A
t tükrözésnél
OAB képe
OA'
B1
, míg
φ-nél
OA'
B2
. Az
OA'B' háromszög tehát egybevágó az
OA'
B1
,
OA'
B2
háromszögekkel is és két csúcsa egybeesik vele, tehát megegyezik a két háromszög egyikével. Nem egyezik meg
OA'
B1
-gyel, mert abban
AA' és
BB1
felezőmerőlegese egybeesik. Tehát
OA'
B2
-vel egyezik meg, azaz
B2
=B', ahogy állítottuk.
Az
ABC háromszög
φ forgatásnál származó képe és az
A'B'C' háromszög megegyezik két csúcsban
φ(A)=A'-ben és
φ(B)=B'-ben. Ezen kívül oldalaik hossza, tehát szögeik nagysága és körüljárásuk is megegyezik, így harmadik csúcsuk is egybeesik:
φ(C)=C'. Ezzel megmutattuk, hogy a
φ forgatás az
ABC háromszöget az
A'B'C' háromszögbe viszi.