Feladat: 9.22.
Adott a sík két pontja,
A és
B, valamint egy
e egyenes, amely nem azonos az
AB egyenessel. Szerkesszük meg az
e egyenesnek azt a
P pontját, amelyre az
AP2
+
BP2
összeg minimális.
Megoldás: 9.22
Vetítsük merőlegesen az
e egyenesre az
A és
B pontot, vetületüket jelölje
A' illetve
B'. Az
A'B' szakasz felezőpontját jelöljük
F-fel, válasszuk az
A'F szakasz hosszát egységnek, jelölje továbbá
FP szakasz előjeles hosszát
x, akkor pozitív, ha
P az
FB' félegyenesen van.
Ezekkel a jelölésekkel a Pitagorász-tétel szerint
AP2
+
BP2
=AA
'2
+(1+x
)2
+BB
'2
+(1-x
)2
=
AA2
+BB
'2
+2+2
x2
.
Itt csak az
2
x2
-es tag függ
P helyzetétől és nyilván akkor minimális, ha
x=0, azaz ha a
P pont az
A'B' szakasz felezőpontja.
Nyilvánvaló, hogy a négyzetösszegnek nincsen maximuma, hiszen ha a
P pont ,,nagyon távol" van az
e egyenesen, akkor a négyzetösszeg is tetszőlegesen nagy lehet.