Feladat: 16.16.
A
11.12. feladat megoldásában a következő állítást bizonyítottuk be:
Adott a
P pont az
ABC háromszög belsejében. Tükrözzük az
A-ból induló belső (vagy külső) szögfelezőre az
AP egyenest, a
B-ből induló belső szögfelezőre a
BP egyenest, végül a
C-ből induló belső szögfelezőre a
CP egyenest. Bizonyítsuk be, hogy az így kapott három egyenes is egy ponton meg keresztül.
Mi a helyzet, ha
P nem a háromszög belsejében van?
Megjegyzés. A három ,,új" egyenes metszéspontját a
P pont
izogonális konjugáltjának nevezzük.
Megoldás: 16.16
Tükrözzük a
P pontot egyrészt az
AB, másrészt az
AC oldal egyenesére, a kapott két tükörkép legyen
P3
és
P2
. A tengelyes tükrözés tulajdonságaiból azonnal következik, hogy
P3
AP2
∠=2BAC∠ és
AP3
=AP=
AP2
. Jelölje továbbá
e az
AP egyenesnek az
A-ból induló belső szögfelezőjére vonatkozó tükörképét és jelölje
E ennek egy, a háromszög belsejébe eső pontját.
Megmutatjuk, hogy az
e egyenes éppen a
P3
AP2
∠ szög szögfelezője. Ugyanis a
P3
AE∠=
P3
AB∠+BAE∠. Itt a
P3
AB∠ szög az
AB oldalra való tükrözés miatt egyenlő a
BAP∠ szöggel, ez utóbbi viszont a szögfelezőre való tükrözés miatt egyenlő az
EAC∠ szöggel. Szintén a szögfelezőre való tükrözés miatt a
BAE∠=PAC∠, tehát a
P3
AE∠=BAP∠+PAC∠=BAC∠, ami épp a fele a
P3
AP2
∠ szögnek.
Eredményeinket összevetve azt kapjuk, hogy az
e egyenes egyrészt felezi a
P3
AP2
∠ szöget, másrészt
AP3
=
AP2
, vagyis
e a
P3
P2
szakasz oldalfelező merőlegese.
Legyen
P1
a
P pont tükörképe a
BC egyenesre. Szimmetria meggondolásokból azt kapjuk, hogy a feladatban szereplő három ,,új" egyenes a
P1
P2
P3
háromszög három oldalfelező merőlegese. Ezekről pedig tudjuk, hogy egy ponton mennek keresztül.
Természetesen a külső szögfelezőkre tükrözve ugyanezeket az egyeneseket kapjuk (csak fordított irányítással, de az irányítás a mi esetünkben nem játszik szerepet), tehát a feladat állítása változatlanul igaz marad külső szögfelezőkre is.
Ha
P nem a háromszög belsejében van, de nem is a határán, akkor a fenti bizonyítás - végig irányított szögeket véve - változatlanul működik. Egyetlen esetben van baj: ha a
P1
,
P2
és
P3
pont egy egyenesbe esik, tehát nem alkot háromszöget. Ekkor a bizonyításunk szerint a három ,,új" egyenes párhuzamos lesz, vagyis egy ,,ideális" ponton mennek keresztül.
Ha
P a háromszög valamelyik csúcsa, akkor a feladat értelmetlen. Ha valamelyik oldalnak a csúcsoktól különböző pontja, akkor az izgonális konjugáltja a szemközti csúcs volna. Minthogy ennek nincs izogonális konjugáltja, ezért a háromszög határának pontjaihoz célszerű nem rendelni izogonális konjugáltat.