Feladat: 17.28.
* Jelölje az
ABC háromszög
A-ból induló belső szögfelezőjének a köréírt körrel való második metszéspontját
H.
Igazoljuk, hogy az
ABC háromszög
a oldalához írt körének sugarából levonva a beírt kör sugarát éppen
2
HFBC
-t kapunk. (
FBC
a
BC oldal felezőpontja.)
Megoldás: 17.28
Ismeretes, hogy
H éppen a köréírt kör
A-t nem tartalmazó
BC ívének felezőpontja.
Azt kell bizonyítani, hogy
rA
-r=2
FBC
H (itt
rA
az
a-hoz írt kör sugarát,
r a beírt kör sugarát jelöli).
Jelölje
O a beírt kör középpontját,
OA
az
a oldalhoz írt kör középpontját, az előbbi merőleges vetületét a
BC oldalon
VO
, az utóbbiét
VA
. Ismeretes, hogy e két pont szimmetrikus a
BC oldal felezőpontjára, másrészt
H rajta van az
A-nál levő szög belső szögfelezőjén, tehát az
OVO
VA
OA
derékszögű ,,hurkolt" trapézban az
FBC
H szakasz középvonal. Így kétszerese egyenlő a két párhuzamos oldal különbségével, ami éppen
OA
VA
-
OVO
=
rA
-r.
Ezt akartuk bizonyítani.