Megoldás: 17.44
Jelölje az
AB oldallal húzott párhuzamosnak az
AC oldallal vett metszéspontját
S, a
BC oldallal vett metszéspontját
S', jelölje továbbá az
AC oldallal húzott párhuzamosnak az
AB oldallal vett metszétpontját
T, a
CB oldallal vett metszéspontját
T'. Jelölje végül a
CB-vel húzott párhuzamos és
AB metszéspontját
U,
AC-vel való metszéspontját
U'.
SS'UT négyszög húrtrapéz, mert a négy csúcs egy körön van és
SS' párhuzamos a
TU oldallal. Tehát az
STUS'T'U' húrhatszögben a
T-nél és az
U-nál levő külső szög egyenlő. A ,,demokrácia szabályai" szerint az
S' és
T' csúcsnál levő szögek is egyenlők, végül az
S-nél és
U'-nél levő szögek is egyenlők. E hat szög összege
360∘
, tehát például az
S-nél és
T-nél levő külső szöget az
S'-nél levő szög is, az
ABC háromszög
A-nál fekvő szöge is
180∘
-ra egészíti ki (e két külső szög az
AST háromszög két belső szöge, a harmadik az
A-nál fekvő szög). Tehát a
T'-nél és
S'-nél fekvő külső szög - a szokásos jelölésekkel - egyaránt
α. Ismét a ,,demokrácia szabályait" alkalmazva kapjuk, hogy a
T-nél és
U-nál fekvő külső szög egyaránt
γ, amiből következik, hogy az
S'U szakasz antiparalel az
AC oldallal. Mivel
UPS'B négyszög paralelogramma, ezért a
BP egyenes felezi az
AC-vel antiparalel szakaszokat, hiszen ha egyet felez, akkor az összeset felezi, mert az azonos oldallal antiparalel szakaszok mind párhuzamosak. Azt kapjuk, hogy az összes megfelelő
P pontnak rajta kell lennie azon az egyenesen, amely az
AC oldallal antiparalelek felezőpontjaiból áll - tehát a
B csúcshoz tartozó szimediánon, l. a
11.11. feladatot -, s a ,,demokrácia szabályai szerint" ugyanígy rajta kell lennie az
AB oldallal antiparalelek felezőpontjaiból álló egyenesen, vagyis a
C-hez tartozó szimediánon is, és az
A-hoz tartozó szimediánon is. E három egyenesnek legfeljebb egy közös pontja lehet, és a
16.24. feladatban láttuk, hogy egy közös pontja van is, ez a háromszög Lemoine-Grebe pontja.
A
16.28. feladatban beláttuk, hogy erre a pontra valóban teljesül is a feladat állítása.