Megoldás: 17.39
Az
1. ábra jelöléseit használjuk. Az érintőnégyszög csúcsait sorrendben
AXYB jelöli, a beírt kör az
AB,
BY,
YX,
XA oldalt
P-ben,
Q-ban,
R-ben és
S-ben érinti, az
AY és
BX átlók metszéspontja
M, az
XR=XS szakasz hosszát
x-szel, az
YQ=YR szakasz hosszát
y-nal jelöljük. Egyelőre feltesszük, hogy az
AX és
BY oldalak egyenesei metszik egymást egy
C pontban és belátjuk, hogy az
S,
M és
Q pontok egy egyenesen vannak. Ebből az állítás már minden olyan konvex érintőnégyszögre következik, amelynek nincsenek párhuzamos oldalai.
1. ábra
Alkalmazzuk a Meneláosz-tételt az
XCB háromszögben.
A,
M és
B egy egyenesen van, tehát Meneláosz tétele szerint
XA·CY·BM=AC·YB·MX (a szakaszok előjelétől eltekinthetünk), vagy az
ABC háromszögben a szokásos
AB=c,
BC=a,
CA=b,
a+b+c=2s jelöléseket és az
SA=s-a,
CQ=s-c,
BQ=s-b összefüggéseket használva:
(s-a+x)(s-c-y)
b(s-b+y)
=
MX
BM
.
|
Azt akarjuk belátni, hogy
S,
M és
Q is egy egyenesen van, tehát rájuk is teljesül Meneláosz tétele:
XS·CQ·BM=SC·QB·MX. Itt
CQ és
SC hossza egyenlő, tehát azt kell belátnunk, hogy
Elég tehát azt belátnunk, hogy a két egyenlet bal oldalán álló tört egyenlő, vagyis hogy
(s-a+x)(s-c-y)(s-b)=xb(s-b-y).
|
Ezt kifejtve és rendezve azt kapjuk, hogy
xys+(x+y)(s-a)(s-b)=(s-a)(s-b)(s-c).
|
Itt a jobb oldalon
t2
s
áll, ezzel átosztva az
egyenlethez jutunk (
r-rel a beírt kör sugarát jelöljük). Bevezetjük az
XOR∠=ϕ és
ROY∠=ψ jelölést, és megállapítjuk, hogy egyrészt e két szög öszege
90\degree-
γ
2
, másrészt
x
r
=tanϕ és
y
r
=tanψ, végül
r
s-c
=tan
γ
2
. Utolsó egyenletünk tehát így alakul:
tanϕtanψ+(tanϕ+tanψ)tan
γ
2
=1.
|
Ezt átalakítva a
cot(ϕ+ψ)=tan
γ
2
azonossághoz jutunk. Átalakításaink ekvivalensek voltak, így az állítást - legalábbis abban az esetben, amikor az érintőnégyszögnek nincsenek párhuzamos oldalai - igazoltuk.
Ha az érintőnégyszög trapéz, akkor a szárakon való érintési pontokat összekötő szakaszokra ugyanígy működik a bizonyítás. Az alapokat összekötő szakaszra pedig az
1.10. feladat igaz az állítás.
Marad a rombusz esete. A rombusznál általánosabban, deltoidokra a
17.37. feladatban bizonyítottuk az állítást.