Feladat: 17.38.
Az
ABCD trapézba kör írható. Igazoljuk, hogy az átlók metszéspontja rajta van azon a szakaszon, amely a beírt kör és az alapok érintési pontjait köti össze.
Megoldás: 17.38
Legyen
AB és
CD a két párhuzamos oldal és érintse a beírt kör e két oldalt az
E illetve
F pontban. Jelölje
AE,
EB,
DF és
FC előjeles hosszát rendre
x,
y,
u és
v, a beírt kör sugarát
r, az
AC és
EF metszéspontját
M és
EM hosszát
m,
DB és
EF metszéspontját
M' és
FM' hosszát
m' (lásd az
1. ábrát). A feladat állítása az, hogy
M=M', tehát azt kell igazolnunk, hogy
m+m'=2r.
1. ábra
Az
AEM és
CFE háromszögek hasonlóságából
x:m=u:(2r-m), amit
m-re rendezve azt kapjuk, hogy
m=2rx/(x+u). A
DFM' és
BEM' háromszögek hasonlóságából ugyanígy azt kapjuk, hogy
m'=2rv/(v+y). Az
m+m'=2r egyenlőség tehát ekvivalens az
x/(x+u)+v/(2+y)=1 egyenlőséggel, ami az átszorzás és rendezés után az
xv=yu alakra egyszerűsödik. Ez viszont igaz, hiszen az
1.10. feladat szerint mindkét szorzat a beírt kör sugarának négyzetével egyenlő.