Feladat: 3.15.
Adott az
O centrumú
i inverzió és két egymástól - és
O-tól - különböző pont,
A és
B. Keressük annak szükséges és elégséges feltételét, hogy
i kicseréli egymással
A-t és
B-t. Mutassuk meg, hogy az alábbi két feltétel bármelyike megfelelő!
I.
O,
A és
B egy egyenes három különböző pontja és az
i inverziónál
A és
B nem fixpont, de
i önmagára képezi az
A-n és
B-n is átmenő egyik
k kört.
II. Az
i inverziónál
A és
B nem fixpont, de
i önmagára képez az
A-n és
B-n is átmenő
két kögyenest.
Megoldás: 3.15
Vegyük észre, hogy az I. eset a II. eset speciális esete, amelyben az egyik
A-n és
B-n átmenő kögyenes egy egyenes. Ezek után csak a II. esetet vizsgáljuk.
Tegyük fel először, hogy
i kicseréli egymással
A-t és
B-t és tekintsünk az
A,
B pontokon átmenő
tetszőleges
k kört. Az inverzió paramétere, a
λ=OA·OB mennyiség egyben az
O pont
k körre vonatkozó hatványa. Legyen
C a
k kör egy tetszőleges további pontja és az
OC egyenes még
D-be messe
k-t - illetve legyen
D=C, ha
OC érintő. Az
O pont
k körre vonatkozó hatványa ezen a szelőn is leolvasható:
λ=OC·OD, azaz
i kicseréli
C-t és
D-t is, tehát
k-t önmagára képezi.
Megfordítva, tegyük most fel, hogy két különböző
A-n és
B-n átmenő kögyenes is önmagára képződik az
i inverziónál. Két kögyenes legfeljebb két pontban metszi egymást, tehát az adott esetben épp kettőben,
A-ban és
B-ben. Az
A pont rajta van mindkét kögyenesen, amelyek fixek
i-nél, tehát
A képe is rajta van mindkét kögyenesen, azaz
A képe
A vagy
B. Mivel
A nem fixpont, így képe
B, egyúttal
B képe
A, ahogy állítottuk.