Megoldás: 1.14
1. megoldás.
Ha volna ilyen polinom, akkor volnának olyan
a,b,t racionális számok, amelyekre
23=a+bt teljesülne.
t nem lehet racionális, mert akkor
23 is az volna.
Emeljük köbre az egyenlőséget:
a3
+3
ab2
t+(3
a2
+
b2
t)bt=2
Mivel
t nem racionális, ezért ez csak úgy lehet nulla, ha vagy
b=0, vagy
3
a2
+
tb2
=0. Előbbiből ismét az következne, hogy
23 racionális. Utóbbi viszont lehetetlen, mert a bal oldalon pozitív szám áll. (
t>0 és
b nem nulla.)
2. megoldás.
Beírhatjuk
23-t a másodfokú polinomba, amelynek gyöke. Ekkor egy ilyen egyenlőséget kapunk:
43=a+b23, ahol
a és
b racionális. Emeljük köbre mindkét oldalt:
4=
a3
+2
b3
+3ab(a+b23).
Jobb oldalon a zárójelben éppen
23 áll, ami irracionális. Ebből következik, hogy vagy
a=0, vagy
b=0, az elsőből az következne, hogy
23 racionális, a másodikból, hogy
43 racionális.