Megoldás: 5.40
Alapozzunk a megoldást az
5.39M megoldásra. Ott láttuk, hogy ha
e az alapkör síkjának és a metszési síknak a metszésvonala,
KH a metszet egy átmérője, amelyet a metszet
P pontjából
e-vel párhuzamosan bocsájtott egyenes
M-ben metsz, akkor
PM2
=MK·MH·
CG·BG
GK·GH
.
|
| (1) |
Itt nem részletezzük annak indoklását, hogy az
1. összefüggés pontosan akkor kör egyenlete, hogy
e merőleges
HK-ra és
A merőlegességi feltétel azt jelenti, hogy a metsző sík szimmetrikus a kúp
A csúcsán áthaladó, a
k alapkör síkjára most merőleges síkra. A metszésvonal tehát az a
HK átmérőjű kör, amely merőleges a szimmetriasíkra (egy ilyen kör van).
a) Körmetszet konstukciójához kiindulunk az alapkör
BC átmérőjéből, majd a
BC egyenesen felveszünk egy tetszőleges, de
B-től és
C-től különböző
G pontot; az alapkörre merőleges, a
BC egyenesre illeszkedő
Δ síkon felveszünk egy
G-t tartalmazó, de
BC-től különböző
GK egyenest és azon a
H,
K pontokat a (
2) relációnak megfelelően. Ebben még azt is figyelembe kell venni (lásd az
5.39M megoldás esetszétválasztást bemutató ábráját), hogy
G pontosan akkor van
B és
C között, ha
H és
K között van. Azt is mondhatjuk, hogy
H a
B,
C,
K pontokon áthaladó kör és a
GK egyenes metszéspontja, hiszen a (
2) egyenlet
G-nek erre a körre vonatkozó hatványát fejezi ki kétféleképpen. A keresett kúp
A csúcsa a
BK,
CH (vagy a
BH,
CK) egyenesek metszéspontja.
b) Tekintsük az alapkört és a
K pontot is tartalmazó
g gömböt. A
2. összefüggés a
G pontnak erre a gömbre vonatkozó hatványát fejezi ki kétféleképpen, tehát
H is illeszkedik
g-re. A
HK egyenesre illeszkedő, a szimmetriasíkra merőleges sík a
g gömbből egy kört metsz ki, ami tehát szükségképpen megegyezik a vizsgált metszésvonallal.