Megoldás: 6.2
Legyenek a gömb
O középpontjából a háromszög
A,B,C csúcsaiba
mutató vektorok
a,
b és
c. Legyen továbbá
vb
az az egységvektor, mely a gömbháromszög
AB
oldalszakaszának
A-beli érintőfélegyenese irányába mutat.
Hasonlóan vegyük fel az
AC oldalszakaszt
A-ban érintő
vc
egységvektort is.
1. ábra
Ekkor a
b vektor az
a vektor
c szöggel való elforgatottja a rá merőleges
vb
vektor
felé. Így a szögfüggvények definíciója értelmében
Hasonló módon, a
c vektor az
a vektor
b szöggel
való elforgatottja a rá merőleges
vc
vektor felé, így
A két vektoregyenletet skalárisan összeszorozva:
bc=(cosca+sinc
vb
)(cosba+sinb
vc
).
|
A
b és
c egységvektorok szöge
a,
ezért az egyenlet bal oldalán
cosa szerepel, a jobb oldalon
pedig kibonthatjuk a zárójelet:
cosa=cosbcosc
a2
+coscsinba
vc
+sinccosb
vb
a+sinbsinc
vb
vc
.
|
Az
a vektor merőleges
vb
-re és
vc
-re
is, ezért az ezekkel való skaláris szorzata
0, a
vb
és a
vc
egységvektorok szöge pedig
α, ezért a skaláris
szorzatuk
cosα. Tehát
cosa=cosbcosc+sinbsinccosα.
|