Feladat: 3.69.
Adott az
i kör és az
A pont, amely a körön kívül helyezkedik el.
a) Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan
B,
C
pontpár van, amelyre az
ABC háromszög beírt köre
i.
b) Jelölje egy ilyen
ABC háromszög körülírt körét
ω és jelölje még
cA
azt az
ω belsejében elhelyezkedő, azt belülről érintő kört, amely érinti az
AB,
AC oldalegyeneseket is. Mutassuk meg, hogy a
cA
kör mindig ugyanaz, tehát független
B és
C választásától!
Megoldás: 3.69
Két olyan kör is van, amely érinti az
AB,
AC oldalegyeneseket és az
ω kört: az egyik, amelyet most nem vizsgálunk, az
ω kör külsejében van, tehát az
ABC háromszöglapon és így az
i körön is kívül helyezkedik el.
Alkalmazzunk
i-re vonatkozó inverziót! (lásd az
1. ábrát). Az
i kör
AB,
AC és
BC oldalon található
TC
,
TB
,
TA
érintési pontjai fixen maradna az inverziónál. Ismeretes, hogy az
A,
B,
C csúcsok ilyenkor az
TB
TC
,
TC
TA
,
TA
TB
szakaszok
A',
B',
C' felezőpontjaiba képződnek.. Az
ω körülírt kör képe a
TA
TB
TC
háromszög Feuerbach köre lesz, melynek sugara a
TA
TB
TC
háromszög körülírt köre sugarának fele lesz.
1. ábra
Az
AB,
AC egyenesek
ITC
,
ITB
átmérőjű körökbe képződnek, ahol
I az
i kör középpontja, inverziónk centruma. Ezeknek a köröknek a sugara is fele az
i beírt körének és mindketten átmennek az
A' ponton. Ez a két kör adott, míg az
ω' kör változhat, de ő is ugyanakkora sugarú,
A'-n átmenő kör. Van-e olyan kör, amely érinti mind a három legutóbb említett kört?
2. ábra
Igen van: az
A' középpontú,
i-vel azonos sugarú
c
'A
kör megfelelő (lásd a
2. ábrát). Ez nem lehet teljességgel
i belsejében, hiszen azzal egyenlő sugarú. Emiatt invertált képe,
cA
sem lesz teljesn
i-n kívül, nem egyezhet meg a megoldás elején említett ,,rossz" körrel. A most kapott
cA
kör tehát megfelelő és független a
B,
C pontpár választásától.