Feladat: 3.5.
Adott az
O középpontú,
r sugarú
i kör és az
i-t érintő
e egyenes.
a) Invertáljuk az
e egyenes hat pontját
i-re!
b) Fogalmazzunk meg sejtést az
e egyenes inverz képére vonatkozólag!
c) Igazoljuk a sejtést!
d) Mi lesz
e képe egy olyan körre vonatkozó inverziónál, amely koncentrikus
i-vel, de sugara csak harmadakkora, mint
i sugara?
e) Mi lesz
e képe az
O középpontú
λ=-
r2
paraméterű inverziónál (
OP·OP'=λ<0)?
Megoldás: 3.5
b) A kép az
OT szakasz Thalesz köre - kivéve magát az
O pontot -, ahol
T az
e egyenes és a
T kör érintési pontja.
1. ábra
c) A
T pont képe önmaga a rajta átmenő
k körre vonatkozó inverziónál.
Legyen
P az
e egyenes tetszőleges
T-től különböző pontja és
Q az
OP félegyenes és
OT Thalesz körének
O-tól különböző metszéspontja. Az
PTO háromszög derékszögű, az
OP átfogóhoz tartozó magasság épp
QT, hiszen a Thalesz-tétel értelmében
TQO∠ derékszög. A Befogó-tétel szerint
OQ·OP=
OT2
, ami épp azt jelenti, hogy
P és
Q egymás képei az
OT sugarú körre vonatkozó inverziónál.
Tehát
e pontjai a Thalesz körre kerülnek.
Megfordítva, ha
Q az
OT szakasz Thalesz körének
O-tól és
T-től különböző pontja, akkor az
OQ félegyenes és az
e egyenes
P metszéspontjára elmondható az előző bekezdés gondolatmenete,
P és
Q egymás képei az inveriónál. Tehát a Thalesz kör bármelyik
O-tól különböző pontja előáll képként.