Feladat: 2.18.
Az
ABC háromszög oldalainak hossza:
AB=c,
BC=a,
CA=b.
A háromszöghöz rögzített
(
xA
;
xB
;
xC
) baricentrikus koordinátarendszerben az
ℓ egyenes egyenlete
ξA
xA
+
ξB
xB
+
ξC
xC
=0.
|
| (1) |
Honnan ismerhető fel, hogy ez az egyenes érinti a háromszög beírt körét? Írjunk fel egy olyan
összefüggést, amely pontosan akkor teljesül, ha az (
1) egyenes érinti a beírt kört!
Megoldás: 2.18
A
k beírt kört érintő egyenes olyan háromszögeket alkot az eredeti háromszög két-két oldalával, amelynek beírt vagy hozzáírt köre a
k kör. Ezért többször is szükségünk lesz az alábbi lemmára.
Lemma Az
ABC háromszöghöz rögzített
(
xA
;
xB
;
xC
) baricentrikus koordinátarendszerben az
I(
iA
;
iB
;
iC
) pont akkor és csakis akkor középpontja az
ABC háromszög beírt vagy valamelyik hozzáírt körének, ha
iA
2
iB
2
=
BC2
CA2
,
iB
2
iC
2
=
CA2
AB2
,
iC
2
iA
2
=
AB2
BC2
.
|
| (3) |
Valóban, a beírt kör középpontjának koordinátái a szokásos jelölésekkel
(a;b;c), míg a
BC,
CA,
AB oldalakhoz hozzáírt körök középpontjai rendre
(-a;b;c), (a;-b;c), (a;b;-c),
|
és pont az ezekkel arányos számhármasok elégítik ki a (
3) összefüggést.
Messe az
ℓ egyenes a háromszög
AC oldalegyenesét a
B2
(a;0;
ca
), a
BC oldalegyenest az
A2
(0;b;
cb
) pontban, ahol (
1)-nek megfelelően
ξa
a+
ξc
ca
=0,
ξb
b+
ξc
cb
=0.
|
| (4) |
Mivel
Ia+b+c
=
Aa
Bb
Cc
=
B2
a+
ca
A2
b+
cb
Cc-
ca
-
cb
,
|
| (5) |
így a Lemma szerint csak azt kell ellenőrizni, hogy
(a+
ca
)2
(b+
cb
)2
=
A2
C2
CB2
2
,
(b+
cb
)2
(c-
ca
-
cb
)2
=
CB2
2
B2
A2
2
,
(c-
ca
-
cb
)2
(a+
ca
)2
=
B2
A2
2
A2
C2
.
|
| (6) |
Mivel
CB2
CA
=
a
ca
+a
,
CA2
CB
=
b
cb
+b
,
|
így
CB2
=
ab
ca
+a
,
CA2
=
ab
cb
+b
,
|
| (7) |
tehát (
6) első egyenlete teljesül.
Az
ABC háromszögre vonatkozó koszinusz tételből az
ACB∠=γ szögre
és így az
A2
B2
C háromszögre vonatkozó
A2
B2
2
=
CB2
2
+
CA2
2
-2
CB2
CA2
cosγ
|
koszinusztételből
(
(
ca
+a)(
cb
+b)
ab
)2
A2
B2
2
=(
cb
+b
)2
+(
ca
+a
)2
-(
cb
+b)(
ca
+a)
a2
+
b2
-
c2
ab
.
|
| (9) |
A (
6) egyenletek szorzata azonosan teljesül, így elég közülük kettőt ellenőrizni. Mivel az elsőt igazoltuk, alább csak a harmadikra, a
(c-
ca
-
cb
)2
=
B2
A2
2
A2
C2
(a+
ca
)2
|
relációra koncentrálunk. A (
7) (
9) összefüggéseket felhasználva a
(c-
ca
-
cb
)2
=(
cb
+b
)2
+(
ca
+a
)2
-(
cb
+b)(
ca
+a)
a2
+
b2
-
c2
ab
|
összefüggéshez jutunk. Ebben felbontjuk a zárójelek és átrendezzük a
ca
,
cb
változók polinomjaként és leosztunk a mindenütt megjelenő
(a+b+c) tényezővel:
ca
cb
(a+b-c)-
ca
b(a-b+c)-
cb
a(-a+b+c)=0.
|
| (10) |
A (
4) relációk segítenek, hogy megkapjuk az
ℓ egyenes együtthatóira vonatkozó összefüggést:
ab(a+b-c)
ξa
ξb
ξc
2
+ab(a-b+c)
ξa
ξc
+ab(-a+b+c)
ξb
ξc
=0,
|
azaz
(s-c)
ξa
ξb
+(s-b)
ξa
ξc
+(s-a)
ξb
ξc
=0,
|
| (11) |
vagy a kívánt összefüggés még egyszer?bben:
s-c
ξc
+
s-b
ξb
+
s-a
ξa
=0.
|
| (12) |