Feladat: 6.2.
Készítsünk egy 2000 darab valós számból álló
H halmazt, amelynek egyik eleme sem nulla. Jelöljük
k-val a
H-ből kiválasztható olyan négyelemű részhalmazok számát, amelyekben a négy elem szorzata negatív. A
H elemei közül hányat kell negatívnak választanunk ahhoz, hogy
k értéke a lehető legnagyobb legyen?
Megoldás: 6.2
Legyen
l a
H halmaz negatív elemeinek száma.
H egy négyelemű
R részhalmazában az elemek szorzata pontosan akkor negatív, ha
R-ben az
l elem közül egy vagy három van. Olyan
R, amelyben egy negatív szám van,
l(
2000-l
3
) van. Olyan
R pedig, amelyben három negatív szám van,
(2000-l)(
l
3
) van. E két szám összegének hatszorosa:
l(2000-l)[(l-2)(l-1)+(1999-l)(1998-l)].
|
Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát. A kifejezés egyszerűsödik, ha szimmetrizáljuk, azaz bevezetjük az
L=1000-l jelölést. Ekkor
l(2000-l)=
10002
-
L2
, a nagy zárójelben pedig
(998-L)(999-L)+(998+L)(999+L)=2(
L2
+998×999). Tehát végső soron az
(
10002
-
L2
)(
L2
+998×999) kifejezés maximumát keressük. A két tényező összege állandó, tehát akkor lesz a legnagyobb, ha a különbségük,
2998-2
L2
abszolútértéke a lehető legkisebb, vagyis amikor
L=45 és
l=955.