Megoldás: 20.18
Többet mutatunk meg: megmutatjuk, hogy megadható végtelen sok általános helyzetű pont úgy, hogy bármely kettő távolsága racionális legyen. Egységkör helyett kényelmesebb lesz egység átmérőjű körrel dolgozni, ez nyilván nem változtat a feladat lényegén.
Az első ötlet az, hogy ha például az egység átmérőjű körön egy
P és egy
Q pont úgy helyezkedik el, hogy racionális távolságra van egy
AB átmérő mindkét végpontjától, akkor a
PQ távolság is racionális. Ez következik Ptolemaiosz tételéből, tehát abból, hogy az
ABPQ húrnégyszögben
Itt a
PQ szakasz kivételével minden szakaszról tudjuk, hogy hossza racionális, ezért
PQ is racionális.
Itt
APB∠ és
AQB∠ derékszög, nincs tehát más dolgunk, mint találni végtelen sok olyan egység átfogójú derékszögű háromszöget, amelynek befogói is racionálisak. Hogy végtelen sok ilyen derékszögű háromszög van, az pedig következik abból, hogy végtelen sok primitív pitagoraszi számhármas van. Ha ugyanis
a,b,c egy primitív pitagoraszi számhármas, ahol
c az átfogó, akkor az
a/c,b/c,1 egy megfelelő (egységnyi átfogójú, racionális befogójú) háromszög. Az, hogy
a,b,c primitív számhármas, pontosan azt jelenti, hogy
a/c és
b/c nem egyszerűsíthető, tehát két primitív pitagoraszi számhármas nem adhatja ugyanazt az egységnyi átfogójú derékszögű háromszöget.
Ezzel beláttuk, hogy megadható végtelen sok pont az egység átmérőjű körön úgy, hogy bármely két pont távolsága racionális legyen. S akkor nyilván a felére zsugorítva a kört ismét racionális távolságokat kapunk.
Megjegyzés. [
183] 285sk. oldalán más szép megoldást is olvashatunk a feladat állítására.