Feladat: 16.17.
* [
176].
Bizonyítsuk be, hogy egy konvex
n-szög átlói közül nem lehet
n-nél többet úgy kiválasztani, hogy bármely kettőnek legyen közös pontja.
(Kürschák-verseny, 1962.)
Megoldás: 16.17
Kicsit többet bizonyítunk, az oldalakat is az átlók közé számítjuk és azt bizonyítjuk, hogy még így sem lehet
n-nél több metsző ,,átlót" kiválasztani.
A bizonyításnál
tetszőleges konvex sokszögre szorítkozhatunk, hiszen az, hogy két átló metszi-e egymást vagy sem, csakis azon múlik, hogy milyen sorrendben jönnek a kerületen az átlók végpontjai. Tehát
nyugodtan szorítkozhatunk a szabályos
n szögre.
Most csoportokba osztjuk az átlókat irányuk szerint. Két azonos irányú, vagyis párhuzamos átló nem metszheti egymást. Márpedig ismeretes, hogy a szabályos sokszög oldalai és átlói irányuk szerint pont
n osztályba sorolhatók. Ez azt jelenti, hogy akárhogyan is választunk ki
n-nél több átlót, lesz két párhuzamos közöttük.
Megjegyzések. 1. A feladatra további szép bizonyítások olvashatók [
176]. 213-216. oldalán.
2. A szabályos
n-szögről felhasznált állítást bizonyíthatjuk úgy is, hogy sorba számozzuk a csúcsokat 1-től
n-ig. Két átló (illetve oldal) akkor azonos irányú, ha a végpontjaik sorszámának összege mod
n megegyezik. Ez összesen
n maradékosztályt jelent. Ezt felhasználva viszont az
eredeti, nem feltétlenül szabályos
n-szögre is elmondhatjuk a bizonyítást. Számozzuk sorba a sokszög csúcsait és két átlót/oldalt tegyük egy osztályba, ha végpontjain a sorszámok összege mod
n megegyezik. Két azonos osztályba tett átlónak/oldalnak nem lehet közös belső pontja a konvexitás miatt. Tehát minden osztályból csak legfeljebb egyet választhattunk.