Megoldás: 13.10
Tegyük fel, hogy az
egyenletnek van megoldása pozitív egészekben és vegyük ezek közül azt, amelyben
x+y a legkisebb. Ilyen van, mert pozitív egészek minden részhalmazában van legkisebb szám. Most megmutatjuk, hogy van egy olyan - szintén pozitív egészekből álló - megoldása is, amelyben
x+y kisebb és pozitív. Ez az ellentmondás bizonyítani fogja állításunkat.
Ha
(x,y)=d>1, akkor az egyenlet bal oldal osztható
d4
-nel, tehát
z osztható
d2
-tel. Ezért
x'=x/d,
y'=y/d,
z'=z/
d2
is (pozitív egészekből) álló megoldása az egyenletnek, ahol
x'+y'<x+y.
Az is világos, hogy ha
z-nek akár
x-szel, akár
y-nal van közös prímosztója, az a másikat is kell, hogy ossza.
A továbbiakban tehát feltehetjük, hogy
x,y,z páronként relatív prímek. Vagyis
x2
,
y2
,z úgynevezett ,,primitív" pitagoraszi számhármas. Ezeknek viszont ismeretes az előállítási képletük. Van olyan relatív prím
u>0 és
v>0 (egyikük páros), amelyekre (
x és
y szerepét esetleg felcserélve)
x2
=
u2
-
v2
,
y2
=2uv,
z2
=
u2
+
v2
.
|
Itt
u és
v közül pontosan az egyik páros, ezért az első egyenletből következik, hogy
x páratlan. Mivel két páratlan szám négyzetösszege nem lehet négyzetszám, ezért az első egyenlet szerint
v páros. A második egyenletből pedig következik, hogy
y is páros. Tehát
v=2V,
y=2Y és az első két egyenlet így írható:
Másrészt
u és
v relatív prímek, így
u és
V is, tehát mindkettő négyzetszám:
u=
U2
és
V=
W2
. (Nyilván választhatjuk úgy, hogy
U és
V pozitív legyen.) Most fennáll az
egyenlőség. Itt
x,W,U továbbra is páronként relatív prímek. Tehát
x,2
W2
,
U2
primitív pitagoraszi számhármast alkot. Ezért van olyan
s,t pozitív, relatív prím számpár, amelyre teljesül:
x=
s2
-
t2
,
2
W2
=2st,
U2
=
s2
+
t2
.
Mivel
s és
t relatív prímek, a második egyenletből következik, hogy mindkettő négyzetszám,
s=
S2
és
t=
T2
. (Megint választhatjuk
S-et és
T-t pozitívnak.) Ezt az utolsó egyenletbe helyettesítve azt kapjuk, hogy
Könnyen ellenőrízhető, hogy itt
S+T kisebb
x+y-nál. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.