Feladat: 18.24.
Nyilvánvaló, hogy ha
α irracionális szám, akkor bármely pozitív egész
n számhoz van olyan
m/n nevezőjű tört, amely
α-tól kevesebb, mint
1/2n-nel tér el. Kérdés azonban, hogy nem lehet-e ennél jobban is megközelíteni egy tetszőleges irracionális számot. Dirichlet bizonyított egy tételt, amelyből következik, hogy itt a kettes szám helyett akármilyen nagyobb számot is írhatunk. Mint a
Skatulyaelv c. fejezet bevezetőjében említettük, a tétele bizonyításához ő használta először - legalábbis kimondva és hangsúlyosan - a skatulyaelvet. Mi most ennek a tételnek csak a következő alakjával foglalkozunk:
* Legyen
α egy irracionális szám,
n tetszőleges pozitív egész. Ekkor létezik olyan
n-nél nem nagyobb pozitív
b egész szám és hozzá egy
a egész szám, amelyre igaz, hogy az
a/b tört csak
1/bn-nél kevesebbel tér el
α-tól.
Ezt a tétel a skatulyaelv nagyon egyszerű alkalmazásával Riesz Frigyes bizonyította (l. [
177]. 176sk.). Vajon hogyan?
Megoldás: 18.24
1. megoldás.
A feladat állítása szerint olyan -
n-nél nem nagyobb - pozitív egész
b számot kell keresnünk, és hozzá egy
a egészet, amelyre igaz, hogy
|bα-a|<1/n.
|
| () |
Ez a képlet ,,lefordítva" azt jelenti, hogy
α valamely többszöröse (az első
n többszöröse közül) a hozzá legközelebbi egésztől csak kevéssel tér el. Tekintsük tehát az
számok törtrészét. (Képzeljük úgy, hogy felrajzoltuk e számokat az egység kerületű körre.) Osszuk fel a
[0,1] intervallumot diszkunkt
1/n hosszú intervallumokra. Ha valamelyik törtrész az első vagy az utolsó intervallumba esik, akkor kész vagyunk. (Ha ugyanis
kα az első intervallumba esik, akkor az egész részétől tér el
1/n-nél kevesebbel, ha az utolsóba, akkor a felső egész részétől.) Ha e két intervallum üres volna, akkor a maradó
n-2 intervallumba
n törtrész került, tehát valamelyikbe kettő is jutott. Ez azt jelenti, hogy van két különböző szám,
k és
l, amelyekre
kα és
lα törtrésze csak
1/n-nél kevesebbel térnek el egymástól. Ez viszont azt jelenti, hogy a
kα-lα=(k-l)α szám
1/n-nél kevesebbel tér el az
⌊kα⌋-⌊lα⌋ egész számtól. Ha
k>l, akkor már kész is vagyunk, hiszen
k-l biztosan nem nagyobb
n-nél, tehát választható
b-nek. Ha viszont
k<l, akkor még végig kell szoroznunk eredményünket
-1-gyel, azaz ekkor
l-k választható
b-nek.
2. megoldás.
A megoldás gondolatmenete emlékeztet a
16.8. feladat megoldásához. Ez nem véletlen. Ha abban a feladatban minden számot ugyanannak az
α számnak választunk, akkor a
16.8. feladat állítása éppen az, hogy van néhány (
b darab)
α, amelyek összege a legközelebbi egésztől legfeljebb
1/n-nel tér el. Az ottani bizonyítás pedig éppen a fenti bizonyítást adja.