Megoldás: 13.23
Vegyük a legnagyobb sugarú kört (vagy ha több ilyen van, akkor az egyiket közülük). Ilyen van, mert véges sok kör van. Legyen ennek a körnek a sugara
R, középpontja
O. Tegyük ezt a kört a kiválasztandó körök
V halmazába. Ha egy másik, adott kör belemetsz ebbe a körbe, akkor legfeljebb
R a sugara és középpontja legfeljebb
2R távolságra van
O-tól, tehát az
O körüli
3R sugarú kör teljesen lefedi. Hagyjuk el tehát az összes olyan kört, amelyet az
O körüli
3R sugarú kör teljesen lefed, és ,,dobjuk a kukába" őket, azaz tegyük a
K halmazba őket. A megmaradó körök közül megint válasszunk ki egy legnagyobb sugarút (lehet, hogy ennek a sugara már
<R), és tegyük
V-be, és a középpontja körüli háromszor akkora sugarú kör által lefedett többi kört megint dobjuk a
K kukába. Az eljárást addig folytatjuk, amíg minden kör be nem kerül vagy
V-be vagy
K-ba.
Eljárásunk szerint a
V-ben levő körök páronként diszjunktak. Másrészt ha ezeket háromszorosára nyújtjuk, akkor az így kapott nagyobb körök lefedik az
összes, eredetileg adott kört. Tehát a megnyújtott körök összterülete legfeljebb
T, másrészt kilencszerese a
V-ben levő körök összterületének. Tehát valóban találtunk diszjunkt köröket, amelyek együttesen
T-nek legalább a kilencedét lefedik.
Megjegyzés. Ha veszünk egy fix
P ponton átmenő egységköröket, akkor ezek közül csak egy választható ki. Ennek területe
π, másrészt a körök által lefedett terület akármilyen közel kerülhet
4π-hez. A feladatban szereplő kilences konstans tehát legfeljebb négyesre javítható. Érdekes kérdés, hogy hol van az igazság négy és kilenc között.