Feladat: 17.3.
Egy 7 egység oldalú négyzetben elhelyezünk 51 pontot. Bizonyítsuk be, hogy ezek között a pontok között van három olyan, amely lefedhető egy egységsugarú körrel. (OKTV, 1997.)
Megoldás: 17.3
Ha a négyzetet sikerül felbontanunk 25 darab olyan kisebb egybevágó négyzetre, amelyek átlója kisebb kettőnél, akkor kész vagyunk. Ugyanis egy négyzet lefedhető egy olyan körrel, amelynek sugara az átló fele. Másrészt a 25 négyzet közül valamelyikbe legalább három pontnak kell esnie.
De ha a négyzetet felbontjuk 25 kisebb négyzetre (minden oldalát 5-5 egyenlő részre osztva), akkor egy ilyen kisebb négyzet oldala
7/5, tehát az átlója
72/5, s ennek négyzete
98/25<4, tehát a kis négyzet átlójának hossza kisebb kettőnél. Ezt akartuk bizonyítani.