Feladat: 17.14.
[
176]
Adott a sík négy pontja. Bizonyítsuk be, hogy az általuk meghatározott hat távolság közül a legnagyobb és a legkisebb hányadosa legalább
2. (Kürschák verseny, 1961.)
Megoldás: 17.14
Ha a négy pont közül három egy egyenesen van, akkor közülük a legközelebbi kettő legfeljebb fele olyan távol van egymástól, mint a legtávolabbi kettő.
Feltehető tehát, hogy a négy pont általános helyzetű. Ekkor a
17.10. feladat szerint van három pont,
A,B,C, amelyekre a
BAC∠ legalább derékszög. Ismeretes, hogy ekkor
BC
‾
2
≥
AB
‾
2
+
AC
‾
2
. Ha az utóbbi kettő közül
AB
‾
a kisebb, akkor
BC
‾
2
≥2
AB
‾
2
. Ez éppen a feladat állítása.
A négyzet négy csúcsa mutatja, hogy a
2 nem javítható.