Megoldás: 17.24
Vegyünk fel az öt pontnak egy olyan elrendezését, amelyben a pontok között csak két távolság lép fel,
d és
d'.
Tekintsük azt a gráfot, amelynek ez az öt pont a csúcsa és két pontot akkor köt össze él, ha
d távolságra vannak egymástól. A
GR.II.3.2. feladat szerint két eset van: ez a gráf vagy egy ötszög, vagy a gráf és a komplementere közül az egyikben van háromszög.
Ha a gráf egy ötszög, akkor a komplementere is az, tehát egy olyan ötszögről van szó, amelynek oldalai is, átlói is egyenlők. Vagyis szabályos ötszögről van szó.
Ha a gráfban vagy a komplementerében van egy háromszög, akkor az öt pont között van három, amelyek egy
ABC szabályos háromszöget alkotnak. Legyen
D egy további pont. Ez a háromszög három csúcsa közül kettőtől egyenlő távolságra van, mondjuk az
A és
B csúcsoktól. Tehát rajta van
AB oldalfelező merőlegesén. Nézzük, az oldalfelező merőlegesnek melyik pontjai jönnek szóba. Szóba jön az a pont, amely a
C pont tükörképe
AB-re. A másik eset az, amikor
A-tól és
B-től egyenlő,
d' távolságra van. Ha
C-től is
d' távolságra van, akkor az
ABC háromszög köré írt középpontjáról van szó. Ha
C-től
d távolságra van, akkor pedig csak két különböző helyzete lehet az
AB oldalfelező merőlegesén. Ez összesen négy lehetőség, a
d távolság mindegyik esetben egyértelműen meghatározott. Könnyen ellenőrízhető, hogy semelyik két esetet nem lehet úgy ,,összeilleszteni", hogy az öt pont között továbbra is csak ez a két távolság lépjen fel.
Megjegyzés. A feladat megoldható a következő,
17.25. feladat segítségével is.