Feladat: 18.13.
* Legyen
a tetszőleges valós szám. Igazoljuk, hogy az
(a,a+1/n) nyílt intervallumban legfeljebb
⌈n/2⌉ olyan tört lehet, amelynek nevezője nem nagyobb
n-nél.
Megoldás: 18.13
Ha
m≤n, akkor a nyílt intervallum nem tartalmazhat két különböző,
m nevezőjű törtet, mert ezek különbsége legalább
1/n. Tehát a szóba jövő törtek mindegyikének különböző a nevezője.
A lényeges megállapítás a következő: egyik nevező sem lehet osztója a másiknak. Ha ugyanis
m|m', akkor az
m nevezőjű tört bővíthető volna
m' nevezőjűvé, és megint kapnánk két különböző,
m'≤n nevezőjű törtet az
1/n hosszú nyílt intervallumban.
A
18.11. feladat szerint legfeljebb
⌈n/2⌉ darab,
n-nél nem nagyobb nevező adható meg, hogy egyik se ossza a másikat.