Megoldás: 8.2
a) Háromféle ötpontú fa van: az ötpontú (négyélű) út, a csillag és az a fa, amelynek egy harmadfokú és egy másodfokú pontja van (ezek illeszkednek).
Az ötpontú útban három ilyen út van, és ennél kevesebb nyilván nem lehet. Az ötpontú csillagban bármely két él 2 hosszú utat alkot, így hat ilyen út van. Ha a fának három végpontja, egy másod- és egy harmadfokú pontja van, akkor négy ilyen út van benne, tehát pontosan öt darab 2 hosszú út nem lehet egy ötpontú fában.
A megoldás: 3, 4 vagy 6.
b) Ötféle hatpontú fa van. A hatpontból álló (ötélű) út, a csillag (
K1,5
), és három további. Ezek közül az elsőben (
T1
) egy negyedfokú pont van, egy másodfokú és négy elsőfokú. A másodikban (
T2
) két - egymással összekötött - harmadfokú pont van és négy elsőfokú. A harmadikban (
T3
) egy harmadfokú pont van, két másodfokú és három elsőfokú. Az ötélű útban 4 darab 2 hosszú út van, a csillagban 10, ez a két szélső eset.
T1
-ben 7,
T2
-ben 6,
T3
-ban 5 darab 2 hosszú út van. Lásd az
1. ábrát.
A megoldás: 4,5,6,7 vagy 10.
1. ábra