Feladat: 8.10.
A távolság-fogalomtól meg szoktuk követelni, hogy teljesítse a háromszögegyenlőtlenséget. Azt tehát, hogy ha
x,
y,
z tetszőleges három pont, akkor a
x és a
z pont távolsága legfeljebb akkora legyen, mint az
x és
y pontok távolságának és az
y és
z pontok távolságának az összege.
Ha
x és
z nincs egy komponensben, akkor távolságukat végtelennek vettük, de akkor
x és
z közül valamelyik
y-nal sincs egy komponensben, tehát ezek távolsága is végtelen. Így ,,mindkét oldalon" végtelen áll. Ha
x és
z egy komponensben van, akkor távolságuk véges, és ha
y valamelyikükkel nincs egy komponensben, akkor attól vett távolsága végtelen. Ekkor ,,azt kapjuk", hogy ,,végtelen nagyobb a végesnél", amit igaznak szoktunk tekinteni. Ebben az értelemben tehát a háromszög egyenlőtlenség igaz, ha nem mind a három pont van egy komponensben.
De mi a helyzet, ha mind a három pont azonos komponensben van?
Megoldás: 8.10
Ha egymás után rakjuk az
x-ből
y-ba vezető legrövidebb utat és az
y-ból
z-be vezető legrövidebb utat, akkor egy
x-ből
z-be vezető sétát kapunk. Ez vagy megegyezik az
x-ből
z-be vezető legrövidebb úttal, vagy ellenkező esetben a legrövidebb út ennél rövidebb.