Feladat: 16.13.
[
94].
Egy 6x6 mezőből álló ,,sakktáblát" hézagmentesen és átfedés nélkül dominólapokkal fedünk le. Mindegyik dominólap két szomszédos mezőt takar le. Bizonyítandó, hogy a mezőket elválasztó 5 vízszintes és 5 függőleges vonal között van olyan, amely egyetlen dominólapot sem vág ketté. (OKTV 1963D)
Megoldás: 16.13
Nyilván az az ember első ötlete, hogy skatulyaelvet kellene használni. Mindegyik dominó pontosan egy vonalat metsz, és minden dominót pontosan egy vonal vág ketté. 18 dominó kell a ,,sakktáblánk" lefedéséhez, így ezek összesen 18-szor metszik a vonalakat. Ez még nem vezet ellentmondásra. De ha igaz volna, hogy minden vonalat legalább két dominó metsz, akkor már kész is volnánk, hiszen ebben az esetben 20 dominó kellene ahhoz, hogy az összes vonalat átmessék, márpedig csak 18 van.
Szerencsére igaz, hogy minden vonalat legalább két dominó metsz. Egy vonal ugyanis két olyan részre osztja a ,,sakktáblát", amelynek mindkét oldalán páros sok mező van. Ha egy dominó lefed egy vonalat, akkor ennek a vonalnak mindkét oldalán páratlan sok mező marad, ezek nem fedhetők le külön-külön átfedés nélkül, tehát biztos van még egy dominó, amely ugyanezt a vonalat metszi.
Ezzel a bizonyítást befejeztük.
Megjegyzés. [
94]. 435sk. oldalán részletesen elemzi, hogy milyen
u×v-es ,,sakktáblák" esetében igaz az állítás. Kiderül, hogy például az
5×6-os és
7×6-os ,,sakktábla" is lefedhető kettes dominókkal úgy, hogy minden vonal át legyen metszve.