Feladat: 14.37. [
84]
IMO 1983, USA, javaslat
A szabályos
n-szög (
n≥6) csúcsai közül véletlenszerűen kiválasztunk két közös pont nélküli ponthármast. Mennyi az esélye, hogy a két ponthármas - mint csúcsok - által meghatározott két háromszög nem metszi egymást?
Megoldás: 14.37
Vizsgáljuk azt a hat csúcsot, amelyet a két ponthármas lefoglal! Nézzük meg, hogy ez a hat pont hányféleképpen bontható két ponthármasra és azok közül hány esetben metszi illetve nem metszi egymást a két háromszög!
A hat csúcsból három
(
6
3
)=20-félekéépen választható ki, de mindegy hogy az hármast vagy a komplementerét választjuk ki, így csak
10 eset van.
A körön a hat pont úgy helyezkedik el, hogy konvex burkuk hatszög, így pontosan akkor nem metszi egymást a két háromszög, ha az egyik és a másik hármas is három, a körön haladva egymást követő pontból áll. Ez
3 eset mindegyik lehetséges ponthatosra.
A kérdezett valószínűség
3
10
.