Feladat: 14.6. [
195]
Egy futballklub edzésének megkezdése előtt az edzésen résztvevő
22 játékost két csoportba osztják. Mi a valószínűsége annak, hogy ha találomra történik a szétosztás két
11-es csoportba, a két legjobb játékos egymás ellen játszik?
Megoldás: 14.6
1. megoldás.
Két csapatot választunk, egy Elsőt és egy Másodikat. Ehhez azonban elég az Első csapatot kiválasztani, a maradék lesz a Második. A kérdés így is fogalmazható:
Mennyi az esélye, hogy az Első csapatba a két legjobb játékos közül pontosan egy kerül?.
A
22 játékosból az Első csapatban játszó
11-et összesen
(
22
11
)-féleképpen választhatjuk ki. Az a kedvező, ha ebbe a
11-be a
2 legjobb közül
1-et, a maradék
20-ból pedig
10-et választunk. Erre
(
2
1
)·(
20
10
) lehetőség van. Az eredmény:
p=
(
2
1
)(
20
10
)
(
22
11
)
=
2·11
22·21
11
=
11
21
≈0,5238095238.
|
2. megoldás.
[tossenbergertamas]
Képzeljük el úgy, hogy egy sorban van egymás mellett
22 hely, az első
11
helyre kerülőkből fog állni az
1. csapat, a
12-22. helyre kerülőkből pedig a
2. csapat. A két legjobb játékos helyét összesen
(
22
2
)-féleképpen választhatjuk ki a
22 helyből. Az a kedvező, ha egy-egy hely kerül az első
11 illetve a második
11 helyre, erre
(
11
1
)·(
11
1
) lehetőség van. A kérdezett valószínűség értéke:
(
11
1
)(
11
1
)
(
22
2
)
=
11·11
22·21
2
=
11
21
.
|
3. megoldás.
Az első legjobb játékost bármelyik csapatba rakjuk, a második legjobb játékosnak mellé - az első csapatába - még
10 helyre kerülhet, míg a másik csapatba
11 helyre. Így
11
21
≈0,5238095238 az esélye, hogy különböző csapatba kerülnek.