Feladat: 11.9.
Általánosítsuk a
11.8. feladatot! Adjuk meg az összes olyan nemnegatív egészekből álló
p,
f párt, amelyre igazságos az ott leírt játék
p piros és
f fehér golyóval!
Megoldás: 11.9
A
11.8M. megoldásban felírt
egyenletet az általános esetben is kezelhetjük
f-re vonatkozó másodfokú egyenletként:
Ennek diszkriminánsa:
Df
=(2p+1
)2
-4p(p-1)=8p+1.
|
| (2) |
Az
f ismeretlen értéke csak akkor lesz egész, ha ez a diszkrimináns négyzetszám. A (
2) alak szerint ez páratlan is, tehát
Df
egy pozitív páratlan szám négyzete:
ahol
n tetszőleges pozitív egész szám. A (
2-
3)
összefüggésekből
míg az
1 másodfokú egyenletre vonatkozó megoldóképletből
f=
2p+1±
Df
2
=
n(n-1)+1±(2n-1)
2
|
azaz
f={
n2
+n
2
=
n(n+1)
2
=(
n+1
2
)
n2
-3n+2
2
=
(n-1)(n-2)
2
=(
n-1
2
)
|
| (5) |
azaz pontosan akkor igazságos a játék, ha a piros és a fehér golyók száma két szomszédos háromszögszám.