Feladat: 4.18.
A Skandináv lottón 7 számot húznak ki 35-ből és egy héten (tehát egy szelvényre vonatkozólag) két húzás is van (egy kézi és egy gépi). Mi az esélye, hogy a 8-as nyerő szám lesz egy adott héten (tehát az egyik vagy a másik vagy mindkét húzásnál)?
Megoldás: 4.18
1. megoldás.
Szita
Annak az esélye, hogy a
8-as nyerőszám egy húzásnál:
q=
(
34
6
)
(
35
7
)
=
34·33·…·29
6!
35·34·…·29
7!
=
7
35
=
1
5
.
|
Így
q2
=
1
25
Annak esélye, hogy a
8-as két különböző húzásnál is nyerő szám.
Legyen
A az az esemény, hogy a
8 nyerő szám a kézi húzásnál,
B az az esemény, hogy a gépinél nyerő, tehát
AB az az esemény, hogy mindkettőnél nyerő, míg
A+B az az esemény, hogy legalább az egyiknél nyerő. A halmazokra vonatkozó szita formulának megfelelően:
p(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=q+q-
q2
=q(2-q)=
9
25
=0,36.
|
2. megoldás.
Esetek
A
4.18M1. megoldásban kapott
q=
1
5
annak esélye, hogy egy adott húzásnál a
8-as nyerő szám, így
1-q=
4
5
annak az esélye, hogy a
8-as nem nyerő szám egy adott húzás esetén.
Három eset van:
8-as csak a kézi, vagy csak a gépi, vagy mindkét húzásnál nyerő. Ezek esélye rendre
q·(1-q),
(1-q)·q,
q·q, tehát a kérdezett valószínűség
q·(1-q)+(1-q)·q+q·q=2q-
q2
=
9
25
=0,36.
|
3. megoldás.
Komplementer módszer
A
4.18M1. megoldásban kapott
q-val számolva
(1-q
)2
annak esélye, hogy a
8-as az egyik húzásnál sem nyerő, tehát
1-(1-q
)2
=2q-
q2
=
9
25
=0,36
|
annak az esélye, hogy a
8-as legalább az egyik húzásnál nyerő.