Feladat: 1.1.
*
Definíció Az egyenes pontjainak egy
H részhalmazát
kompaktnak nevezzük, ha igaz rá a következő tulajdonság:
Ha az
I1
,
I2
,…,
In
,… nyílt intervallumok uniója teljesen lefedi
H-t, akkor kiválasztható közülük véges sok, amelyek uniója szintén lefedi
H-t.
* Igazoljuk, hogy minden véges, zárt intervallum kompakt.
Más szóval igaz a következő tétel:
Lefedési tétel: Ha az
I1
,
I2
,…,
In
,… nyílt intervallumok uniója teljesen lefedi az
[a,b] zárt intervallumot, akkor kiválasztható közülük véges sok, amelyek uniója szintén lefedi a
[a,b] zárt intervallumot.
Segítség, útmutatás: 1.1
Vegyük az első
n darab nyílt intervallumot és az általuk lefedett részt hagyjuk el
[a,b]-ből. Mit mondhatunk a maradó ponthalmazról?
Próbáljuk alkalmazni a König-lemmát.