Feladat: 1.4.
Bizonyítsuk be, hogy
Q minden másodfokú bővítése megkapható
Q(n) alakban, ahol
n egy négyzetmentes egész szám.
(Négyzetmentesnek azokat a számokat hívjuk, amelyek prímtényezős felbontásában minden prímszám első hatványon szerepel, azaz amelyek nem oszthatóak egynél nagyobb négyzetszámmal.)
Segítség, útmutatás: 1.4
Legyen a másodfokú bővítés
Q(t), ahol
t=
p
q
és
p,
q pozitív egészek. Lássuk be, hogy
Q(t)=Q(pq). Ezután írjuk fel
pq=
m2
n alakban, ahol
m egész,
n négyzetmentes. (Ez a felírás egyértelmű.) Mivel
t nem racionális, így
pq sem, tehát
n nagyobb egynél. Bizonyítsuk be, hogy
Q(pq)=Q(n).