Feladat: 5.62. [
79]
A salakmotor-versenyek kedvelői jól tudják, hogy ha egy pályán egyszerre 4 versenyző fér el, és összesen 16 versenyző akarja összemérni az erejét egymással, akkor ,,szerencsére" éppen be lehet őket osztani négyes futamokba úgy, hogy mindenki mindenkivel egyszer találkozzon.
Próbáljunk meg elkészíteni ilyen futam-beosztást!
Segítség, útmutatás: 5.62
Részletesebben, lásd Montágh Balázs cikkét[
79].
1. Szervezzünk meg először
9 versenyző közt hármas futamokkal bajnokságot! Most lehetőségünk van geometriai megoldást találni.
Azonosítsuk a versenyzőket a sík
(x,y) pontjainak, ahol
x és
y egész számok és modulo
3 tekintjük őket (azaz a versenyzőket a kilenc elemű
F3
×
F3
halmaz elemeinek feleltetjük meg). A futamok a sík egész együtthatós egyeneseinek felelnek meg az alábbi módon.
12 futamot szervezünk. A
c számnak háromféle ,,értéke" lehet modulo
3, az
(a,b) számpárnak pedig összesen kilencféle.
Egyenesnek tekintjük az
kongruenciák megoldáshalmazait (azaz
F3
-ban az
y=c,
c=ax+b egyenletek megoldáshalmazait).
Mutassuk meg, hogy a (
1) kongruenciák közül bármelyik kettőnek pontosan egy közös megoldása van.
2. Adjunk meg négyelemű testet!
3. Szervezzük meg a beosztást a négyelemű test segítségével!