Feladat: 18.24.
Nyilvánvaló, hogy ha
α irracionális szám, akkor bármely pozitív egész
n számhoz van olyan
m/n nevezőjű tört, amely
α-tól kevesebb, mint
1/2n-nel tér el. Kérdés azonban, hogy nem lehet-e ennél jobban is megközelíteni egy tetszőleges irracionális számot. Dirichlet bizonyított egy tételt, amelyből következik, hogy itt a kettes szám helyett akármilyen nagyobb számot is írhatunk. Mint a
Skatulyaelv c. fejezet bevezetőjében említettük, a tétele bizonyításához ő használta először - legalábbis kimondva és hangsúlyosan - a skatulyaelvet. Mi most ennek a tételnek csak a következő alakjával foglalkozunk:
* Legyen
α egy irracionális szám,
n tetszőleges pozitív egész. Ekkor létezik olyan
n-nél nem nagyobb pozitív
b egész szám és hozzá egy
a egész szám, amelyre igaz, hogy az
a/b tört csak
1/bn-nél kevesebbel tér el
α-tól.
Ezt a tétel a skatulyaelv nagyon egyszerű alkalmazásával Riesz Frigyes bizonyította (l. [
177]. 176sk.). Vajon hogyan?
Segítség, útmutatás: 18.24
1.
Valójában azt kell bizonyítani, hogy van olyan egy és
n közötti
b egész szám, amelyre
bα a hozzá legközelebbi egész számtól
1/n-nél kevesebbel tér el.
2.
Helyettesítsünk a
16.8. feladatban mind az
n-1 valós szám helyett
α-t és alkalmazzuk az ottani megoldását.