Feladat: 20.22.
[
187] Book 5.
Legyen adott az
n csúcsú
P sokszög, legyenek a csúcsai
P1
,
P2
,
Pn
. Legyen továbbá adva
P belsejében
m pont,
Q1
,
Q2
,…
Qm
. Ennek az alakzatnak egy háromszögelése azt jelenti, hogy
Pi
és
Qj
pontokat illetve két
Qj
pontot összekötő szakaszokat húzunk be, úgy, hogy e szakaszok ne messék egymást, az alakzatot csupa háromszögre bontsák és e háromszögek egyike se tartalmazzon sem a belsejében, sem a határán további
Pi
vagy
Qj
pontot. Lásd az
1. ábrát.
1. ábra
Mutassuk meg, hogy minden ilyen háromszögelésben ugyanannyi lesz a háromszögek száma és fejezzük ki
n és
m segítségével a számukat.
Segítség, útmutatás: 20.22
1.
A belső pontok
m számára vonatkozó teljes indukcióval könnyen belátható, hogy a háromszögek száma
n+2m-2, mert minden új belső pont kettővel növeli a szükséges háromszögek számát.
2.
A
Pi
és
Qj
pontoknál levő szögek összeszámolásával is kijön, hogy a háromszögek száma
n+2m-2.